UNIDAD 5.- ANÁLISIS DE REDES

INTRODUCCION

La modelación de redes permite la resolución de múltiples problemas de programación matemática mediante la implementación de algoritmos especiales creados para tal fin, conocidos como Algoritmos de optimización de redes.

Por ejemplo esto es utilizado en ruteo de vehículos, distribución del producto, programa de actividades en un proyecto, redes de comunicación etc.

CONCEPTOS BÁSICOS

GRÁFICA: Una gráfica es una serie de puntos llamados nodos que van unidos por unas líneas llamadas arcos.

RED: Una red es una gráfica que presenta algún tipo de flujo en sus arcos

CADENA: Una cadena corresponde a una serie de arcos que van de un nodo a otro.

RUTA: Una ruta corresponde a los nodos que constituyen una cadena.

CICLO: Un ciclo corresponde a la cadena que une a un nodo con sigo mismo.

ARCO ORIENTADO: Un arco orientado es aquel que tiene un sentido determinado, es decir que posee un nodo fuente y un nodo destino.

GRÁFICA ORIENTADA: Una gráfica orientada es aquella en la cual todos sus ramales se encuentran orientados.

ÁRBOL: Un árbol es una gráfica en la cual no existen ciclos.

ÁRBOL DE EXPANSIÓN: Un árbol de expansión es aquel árbol que enlaza todos los nodos de la red, de igual manera no permite la existencia de ciclos.

NODO FUENTE: El nodo fuente es aquel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados hacia afuera

NODO DESTINO: El nodo destino es aquel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados hacia él. (Bryan Salazar López, Cali, Colombia)³

RED DE FLUJO MINIMO

El algoritmo del árbol de expansión mínima es un modelo de optimización de redes que consiste en enlazar todos los nodos de la red de forma directa y/o indirecta con el objetivo de que la longitud total de los arcos sea mínima.

Los problemas de transporte, transbordo, camino más corto, flujo máximo, red de proyectos son casos especiales del modelo de FLUJO DE COSTO MÍNIMO EN UNA RED y pueden resolverse con una forma especial del Simplex.

PASOS

Paso 1. Asignar al nodo 1 al rótulo permanente [0,I]; la I indica que elnodo 1 es el nodo inicial ; y el 0, que la distancia del nodo 1 hacia sí mismo es cero.

Paso 2. Determinar rótulos tentativos para los nodos a los que puedellegarse en forma directa desde el nodo 1.. El primer número de cada marcación es la distancia directa entre el nodo 1 y el nodo en cuestión; a esta parte de la etiqueta se la denomina valor de distancia. El segundo número de cada rótulo, al que se denomina valor del nodo precedente, señala el nodo que antecede en la ruta desde el nodo 1 hasta el nodo en cuestión.

Paso 3. Identificar el nodo con la etiqueta tentativa que tenga el menor valor de distancia, y considerarlo como rotulado en forma permanente. Si todos los nodos tiene etiquetas permanentes, ir al paso 4.

Paso 4.Considérese todos los nodos que no tiene marcación permanente y a los que se puede llegar en forma directa desde el nuevo nodos con el rótulo permanente que estableció en el paso 3. Calcular para estos nodos las etiquetas tentativas de la siguiente manera: a. Si el nodo carece de etiqueta permanece y que se considera, tiene una marcación tentativa, obtener la suma del valor de distancia del nuevo nodo etiquetado permanentemente, y la distancia directa de este último nodo al nodo en cuestión. Si esta suma es inferior al valor de la distancia del nodo considerado, igualar a esta suma el valor de distancia para este nodo; además. Hacer que el valor del nodo precedente sea igual al nodo recién marcado como permanente y que arrojó la menor distancia. Continuar al paso3.b. Si el nodo que no tiene etiqueta permanente y que se está evaluando carece de rótulo tentativo, se crea una con valor de distancia igual a la suma del valor de distancia en el nuevo nodo etiquetado como permanente y la distancia directa desde ese nodo al que recientemente se le asignó la marcación permanente hasta el nodo en cuestión. El valor del nodo precedente es igual al nodo recién etiquetado en forma permanente. Ir al paso 3.

Paso 5. Los rótulos permanentes identifican la distancia más corta desde el nodo 1 hasta cada uno de los demás nodos, y el nuevo precedente sobre la ruta más corta. Se puede encontrar la ruta más corta hasta un determinado nodo, partiendo de éste, y yendo hacia sus precedentes .Continuando esta acción hacia atrás en la red se obtiene una ruta más corta desde el nodo 1 hasta el nodo en cuestión.¹

(Lic. Sonia Castro Ynfantes)⁴

UNIDAD 5.- ANÁLISIS DE REDES

5.1 TERMINOLOGÍA

Una red o grafo consiste de puntos, y líneas que conectan pares de puntos. Los puntos se llaman nodos o vértices. Las líneas de llaman arcos. Los arcos pueden tener una dirección asociada, en cuyo caso se denominan arcos dirigidos. Si un arco no tiene dirección normalmente se le denomina rama. Si todos los arcos en la red son dirigidos, la red se denomina una red dirigida. Si todos los arcos son no-dirigidos, la red es una red no-dirigida.

Dos nodos pueden estar conectados por un conjunto de arcos. Una trayectoria (path en inglés) es una secuencia de arcos distintos (con nodos no repetidos) conectando a los nodos. Una trayectoria dirigida desde nodo i al nodo j es una secuencia de arcos, cada uno de los cuales apunta al nodo j (si es que hay dirección). Una trayectoria no dirigida puede incluir arcos dirigidos apuntando en cualquiera de dirección.

Una trayectoria que comienza y que termina en el mismo nodo se denomina ciclo y puede ser ya sea dirigida o no-dirigida.

Una red está conectada si existe una trayectoria no-dirigida entre cualquier par de nodos. Una red conectada que no tiene ciclos se denomina árbol.

Optimización de redes es un tipo especial de modelo en programación lineal. Los modelos de redes tienen tres ventajas importantes con respecto a la programación lineal.

 Pueden resolverse muy rápidamente. Problemas que con programación lineal tendrían 1000 filas y 30.000 columnas pueden ser resueltos en segundos. Esto permite que los modelos de redes sean usados en muchas aplicaciones (tal como la toma de decisión en tiempo real) para lo cual la programación lineal no es lo ideal.  Requieren en forma natural de soluciones enteras. Al reconocer que un problema puede formularse como algún modelo de red nos permitirá  resolver tipos especiales de problemas de programación entera aumentando la eficiencia y reduciendo el tiempo consumido por los algoritmos clásicos de programación lineal.  Son intuitivos. Los modelos de redes proveen un lenguaje para tratar los problemas, mucho más intuitivo que "variables, objetivo, restricciones". Frederick S. Hiller y Gerald J. Liberman(2002)¹

Obviamente los modelos de redes no son capaces de cubrir la amplia gama de problemas que puede resolver la programación lineal. Sin embargo, ellos ocurren con suficiente frecuencia como para ser considerados como una herramienta importante para una real toma de decisiones.

1 Frederick S. Hiller y Gerald J. Liberman. Investigación De Operaciones . McGraw-Hill. Séptima Edición. 2002.

McGraw-Hill.(2002)¹  Séptima Edición. 2002, recopilado

Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos:

Ø  Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión).

Ø  Modelo de la ruta más corta.

Ø  Modelo del flujo máximo.

Ø  Modelo del flujo del costo mínimo.

Ø  Modelo de minimización de redes

El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en la solución del problema.

Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características:

1. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.)

2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos.

3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red.

Una red con n nodos requiere sólo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante formen un árbol de expansión. Por tanto el problema es hallar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.